收敛区间计算器

收敛区间计算器可用于计算幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty} a_n(x - c)^n\) 的收敛区间。用户只需输入幂级数的系数 \(a_n\) ，本计算器将自动计算出收敛半径和收敛区间。

输入参数

计算结果

计算公式

收敛半径 \(R\) 的计算公式为：\(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n + 1}} \right|\)（比值判别法）

其中：
\(a_n\) 是幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty} a_n(x - c)^n\) 的第 \(n\) 项系数，
\(c\) 是幂级数的中心，
\(R\) 是收敛半径，收敛区间为 \((c - R, c + R)\) ，需进一步判断端点 \(x = c - R\) 和 \(x = c + R\) 处的敛散性。

收敛区间计算器使用指南

了解如何使用收敛区间计算器及其工作原理

使用方法

  1. 在“幂级数系数 \(a_n\)”输入框中，输入幂级数的系数，用逗号分隔。例如，对于幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty} n(x - 1)^n\) ，系数可以输入为“1,2,3”。
  2. 在“幂级数中心 \(c\)”输入框中，输入幂级数的中心值，默认为 0。
  3. 点击“计算”按钮，计算器将自动计算收敛半径和收敛区间，并显示在结果区域。
  4. 如果需要重新输入，可以点击“重置”按钮清空输入框。

原理说明

本计算器使用比值判别法来计算幂级数的收敛半径。比值判别法的原理是：对于幂级数 \(\sum_{n = 0}^{\infty} a_n(x - c)^n\) ，计算极限 \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}(x - c)^{n+1}}{a_n(x - c)^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| |x - c|\) 。当该极限小于 1 时，幂级数绝对收敛；当该极限大于 1 时，幂级数发散；当该极限等于 1 时，需要进一步判断。收敛半径 \(R\) 就是使得该极限等于 1 时的 \(|x - c|\) 的值，即 \(R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n + 1}} \right|\) 。

需要注意的是，本计算器计算出的收敛区间是开区间 \((c - R, c + R)\) ，端点 \(x = c - R\) 和 \(x = c + R\) 处的敛散性需要进一步判断。