曲线弧长计算器

曲线弧长计算器可用于计算平面曲线在给定区间上的弧长。这里我们以常见的函数 \( y = f(x) \) 为例，通过定积分来计算曲线弧长。

输入参数

计算结果

计算公式

\( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx \)

其中：
\( L \) 为曲线弧长；
\( a \) 为积分下限；
\( b \) 为积分上限；
\( f'(x) \) 为函数 \( y = f(x) \) 的导数。

曲线弧长计算器使用指南

了解如何使用曲线弧长计算器及其工作原理

使用步骤

  1. 确定曲线函数 \( y = f(x) \) 在区间 \( [a, b] \) 上的导数 \( f'(x) \)。例如，如果 \( y = x^2 \)，那么 \( f'(x)=2x \)。
  2. 在“下限 \( a \)”输入框中输入积分下限 \( a \) 的值。
  3. 在“上限 \( b \)”输入框中输入积分上限 \( b \) 的值。
  4. 在“导数 \( f'(x) \) 的表达式”输入框中输入导数 \( f'(x) \) 的表达式，如 \( 2*x \)。
  5. 点击“计算”按钮，即可得到曲线在区间 \( [a, b] \) 上的弧长。
  6. 若要重新输入参数，点击“重置”按钮。

原理说明

曲线弧长的计算基于定积分的思想。将曲线分割成许多小段，每一小段可以近似看作直线段，然后通过累加这些小段的长度来逼近曲线的总长度。公式 \( L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx \) 就是通过对每一小段的长度进行积分得到的。在实际计算中，我们采用数值积分的方法，将区间 \( [a, b] \) 分成若干个小区间，通过计算每个小区间上的积分值并累加来近似曲线弧长。