方向导数计算器

方向导数计算器可用于计算函数在某一点沿指定方向的变化率。在多元函数中,方向导数能帮助我们了解函数在不同方向上的变化特性。

输入参数

计算结果

计算公式

Duf(x, y) = ∂f/∂x * cosθ + ∂f/∂y * sinθ (这里用向量形式表示为 Duf(x, y) = ∇f(x, y) · u ,即梯度向量与单位方向向量的点积)

其中:
∂f/∂x 是函数 f 关于 x 的偏导数
∂f/∂y 是函数 f 关于 y 的偏导数
u 是单位方向向量,u = (cosθ, sinθ) ,这里用分量表示为 (directionX, directionY) ,需要先将其单位化
∇f(x, y) = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 是函数 f 在点 (x, y) 的梯度向量
Duf(x, y) 是函数 f 在点 (x, y) 沿方向 u 的方向导数

方向导数计算器使用指南

了解如何使用方向导数计算器及其工作原理

使用步骤

  1. 首先,确定你要计算方向导数的函数在某一点的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 。可以通过求导法则计算出函数的偏导数表达式,再将该点的坐标代入得到具体值。
  2. 接着,确定你要计算方向导数的方向向量。方向向量可以根据具体问题给定,输入该向量的 x 分量和 y 分量。
  3. 将计算得到的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 分别填入对应的输入框中。
  4. 将方向向量的 x 分量和 y 分量分别填入对应的输入框中。
  5. 点击“计算”按钮,计算器会自动计算并在结果框中显示方向导数的值。
  6. 如果需要重新输入数据,可以点击“重置”按钮清空输入框。

原理说明

方向导数衡量的是函数在某一点沿指定方向的变化率。在二维空间中,我们通过函数的偏导数和单位方向向量来计算方向导数。梯度向量 ∇f(x, y) 表示函数在该点变化最快的方向,方向导数就是梯度向量在指定方向上的投影。通过公式 Duf(x, y) = ∇f(x, y) · u (点积运算)可以准确计算出函数在指定方向上的变化率。