雅可比计算器

雅可比计算器可用于计算雅可比符号 \((\frac{a}{n})\)，其中 \(a\) 为任意整数，\(n\) 为正奇数。雅可比符号是勒让德符号的推广，在数论中有广泛应用。

输入参数

整数 \(a\)：

正奇数 \(n\)：

计算结果

雅可比符号 \((\frac{a}{n})\) 的值：

计算公式

雅可比符号 \((\frac{a}{n})\) 计算规则：
1. 若 \(a = 0\)，则 \((\frac{a}{n}) = 0\)。
2. 若 \(a = 1\)，则 \((\frac{a}{n}) = 1\)。
3. 若 \(a\) 为偶数，\((\frac{a}{n}) = (-1)^{\frac{n^{2}-1}{8}}(\frac{a/2}{n})\)。
4. 若 \(a\) 和 \(n\) 都为奇数，\((\frac{a}{n}) = (-1)^{\frac{(a - 1)(n - 1)}{4}}(\frac{n\bmod a}{a})\)。

其中：
\(a\) 为任意整数，\(n\) 为正奇数。

雅可比计算器使用指南

了解如何使用雅可比计算器及其工作原理

使用方法

在“整数 \(a\)”输入框中输入任意整数 \(a\)。
在“正奇数 \(n\)”输入框中输入一个正奇数 \(n\)。
点击“计算”按钮，计算器将根据输入的 \(a\) 和 \(n\) 计算雅可比符号 \((\frac{a}{n})\) 的值，并显示在“雅可比符号 \((\frac{a}{n})\) 的值”输入框中。
若要重新输入参数进行计算，可点击“重置”按钮清空输入框和结果。

原理说明

雅可比符号 \((\frac{a}{n})\) 是勒让德符号的推广，用于判断 \(a\) 模 \(n\) 是否为二次剩余。通过递归地运用雅可比符号的计算规则，可以高效地计算出符号的值。其结果为 \(1\)、\(-1\) 或 \(0\)，分别表示 \(a\) 模 \(n\) 是二次剩余、非二次剩余或 \(a\) 与 \(n\) 不互质。