拉格朗日乘数计算器

拉格朗日乘数计算器可用于在约束条件下求解函数的极值问题，通过引入拉格朗日乘数将有约束问题转化为无约束问题进行求解。

输入参数

计算结果

计算公式

设目标函数为 \(f(x,y)\)，约束条件为 \(g(x,y)=0\)，引入拉格朗日乘数 \(\lambda\)，构造拉格朗日函数 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)\)。求解方程组 \(\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\end{cases}\) 得到可能的极值点。

其中：
\(f(x,y)\) 是目标函数，即需要求极值的函数；
\(g(x,y)\) 是约束条件，限定了变量 \(x\) 和 \(y\) 的取值范围；
\(\lambda\) 是拉格朗日乘数，用于将有约束问题转化为无约束问题。

拉格朗日乘数计算器使用指南

了解如何使用拉格朗日乘数计算器及其工作原理

使用步骤

  1. 在“目标函数”输入框中输入需要求极值的函数，例如 \(x^2 + y^2\)。注意使用 \(x\) 和 \(y\) 作为变量，用 ^ 表示幂运算。
  2. 在“约束条件”输入框中输入约束方程，例如 \(x + y - 1\)，它必须是一个等式，且等式右边默认为 0。
  3. 点击“计算”按钮，由于 JavaScript 本身没有直接的偏导数计算和方程组求解功能，会提示使用专业数学软件进行求解。
  4. 若需要重新输入，可以点击“重置”按钮清空输入框。

原理说明

拉格朗日乘数法是一种在约束条件下求解函数极值的方法。其基本思想是引入拉格朗日乘数 \(\lambda\)，将有约束的极值问题转化为无约束的极值问题。通过构造拉格朗日函数 \(L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)\)，对其求偏导数并令偏导数为 0，得到一个方程组，求解该方程组即可得到可能的极值点。