对角化矩阵计算器

对角化矩阵计算器可用于将给定的方阵进行对角化，求出其相似对角矩阵以及变换矩阵。矩阵对角化在很多领域都有重要应用，如线性代数、物理、工程等。

输入参数

计算结果

计算公式

若存在可逆矩阵 \(P\) 和对角矩阵 \(\Lambda\)，使得 \(A = P\Lambda P^{-1}\)，则称矩阵 \(A\) 可对角化，其中 \(\Lambda\) 为 \(A\) 的相似对角矩阵，\(P\) 为变换矩阵。计算步骤为：先求矩阵 \(A\) 的特征值，再求每个特征值对应的特征向量，将特征向量组成变换矩阵 \(P\)，特征值组成对角矩阵 \(\Lambda\)。

其中：
\(A\)：输入的方阵
\(P\)：变换矩阵，由特征向量组成
\(\Lambda\)：相似对角矩阵，主对角线元素为特征值

对角化矩阵计算器使用指南

了解如何使用对角化矩阵计算器及其工作原理

使用步骤

  1. 在“矩阵阶数（方阵）”输入框中输入要对角化的方阵的阶数，例如 2 表示 2x2 的方阵。
  2. 根据输入的阶数，会动态生成相应数量的输入框，用于输入矩阵的各个元素。依次输入矩阵的元素。
  3. 点击“计算”按钮，计算器将对输入的矩阵进行对角化计算，并在右侧显示相似对角矩阵和变换矩阵。
  4. 若需要重新输入矩阵，可以点击“重置”按钮，清空所有输入和结果。

原理说明

矩阵对角化的基本原理是找到一个可逆矩阵 \(P\)，使得 \(A = P\Lambda P^{-1}\)，其中 \(\Lambda\) 是对角矩阵。具体步骤如下：

  1. 求矩阵 \(A\) 的特征方程 \(\vert \lambda I - A \vert = 0\) 的根，这些根就是矩阵 \(A\) 的特征值。
  2. 对于每个特征值 \(\lambda_i\)，求解齐次线性方程组 \((\lambda_i I - A)X = 0\) 的非零解，这些解就是对应的特征向量。
  3. 将所有特征向量按列排列组成变换矩阵 \(P\)，将特征值按对应顺序放在对角线上组成对角矩阵 \(\Lambda\)。