二次近似计算器

二次近似计算器可用于对函数进行二次近似求值。给定一个函数的一阶导数、二阶导数以及某点的值，通过二次近似公式计算在另一点的近似值。

输入参数

计算结果

计算公式

\( Q(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 \)

其中：
\( x_0 \) 是已知函数值、一阶导数值和二阶导数值的点；
\( f(x_0) \) 是函数在 \( x_0 \) 处的值；
\( f'(x_0) \) 是函数在 \( x_0 \) 处的一阶导数值；
\( f''(x_0) \) 是函数在 \( x_0 \) 处的二阶导数值；
\( x \) 是要求近似值的点。

二次近似计算器使用指南

了解如何使用二次近似计算器及其工作原理

使用步骤

  1. 在“已知点 \( x_0 \) 的值”输入框中输入已知函数值、一阶导数值和二阶导数值的点 \( x_0 \)。
  2. 在“函数在 \( x_0 \) 处的值 \( f(x_0) \)”输入框中输入函数在 \( x_0 \) 处的函数值。
  3. 在“函数在 \( x_0 \) 处的一阶导数值 \( f'(x_0) \)”输入框中输入函数在 \( x_0 \) 处的一阶导数值。
  4. 在“函数在 \( x_0 \) 处的二阶导数值 \( f''(x_0) \)”输入框中输入函数在 \( x_0 \) 处的二阶导数值。
  5. 在“要求近似值的点 \( x \) 的值”输入框中输入你想要计算近似值的点 \( x \)。
  6. 点击“计算”按钮，在“二次近似值 \( f(x) \approx Q(x) \)”输入框中会显示计算结果。
  7. 若需要重新输入数据，点击“重置”按钮清空所有输入框。

原理说明

二次近似是利用函数在某一点的信息（函数值、一阶导数值和二阶导数值）构建一个二次多项式 \( Q(x) \) 来近似原函数 \( f(x) \)。通过泰勒展开式的前三项得到二次近似公式 \( Q(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x - x_0)^2 \)。当 \( x \) 接近 \( x_0 \) 时， \( Q(x) \) 可以较好地近似 \( f(x) \)。