级数收敛计算器

级数收敛计算器可用于判断级数是否收敛。本计算器使用比值判别法，适用于正项级数\(\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}\)，通过计算\(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right|\)的值来判断收敛性。

输入参数

输入级数第\(n\)项\(a_{n}\)的表达式（用\(n\)表示）：

计算结果

级数收敛性结果：

计算公式

使用比值判别法：\(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = \rho\)

其中：
\(\rho < 1\)时，级数\(\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}\)收敛；
\(\rho > 1\)（包括\(\rho = \infty\)）时，级数\(\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}\)发散；
\(\rho = 1\)时，比值判别法失效。

级数收敛计算器使用指南

了解如何使用级数收敛计算器及其工作原理

使用步骤

在“输入参数”区域的输入框中，输入级数第\(n\)项\(a_{n}\)的表达式，使用\(n\)来表示变量。例如，如果级数的第\(n\)项是\(\frac{n}{n + 1}\)，则输入“n / (n + 1)”。
点击“计算”按钮，计算器将根据比值判别法计算并显示级数的收敛性结果。
如果需要重新输入，可以点击“重置”按钮清空输入框。

工作原理

本计算器使用比值判别法来判断正项级数的收敛性。比值判别法的原理是计算级数相邻两项的比值的极限\(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}\right| = \rho\)。根据\(\rho\)的值与\(1\)的大小关系来判断级数的收敛性：

当\(\rho < 1\)时，级数收敛。
当\(\rho > 1\)（包括\(\rho = \infty\)）时，级数发散。
当\(\rho = 1\)时，比值判别法失效，无法通过此方法判断级数的收敛性。

注意事项

本计算器简单模拟了极限的计算，使用一个较大的\(n\)值来近似极限。对于复杂的级数，可能会存在一定的误差。同时，比值判别法只适用于正项级数。