直角, 极座标转换

平面座标系统主要有两种表示方法：
直角座标：使用两个数值 (x,y) 来表示点的位置，其中 x 是水平方向的距离， y 是垂直方向的距离。这种表示法以直线的方式描述平面上的位置。
极座标：使用两个数值 (r,θ) 来表示点的位置，其中 r 是从原点到该点的距离，θ 是该点与正x轴之间的角度。这种表示法更适合描述圆形或旋转运动。

直角,极座标转换

直角座标

极座标

°

从直角三角形的边长关系 (毕氏定理) ，极座标的半径 r 与直角坐标 x、y 之间的关系可以写成 : r=x2+y2 r = \sqrt {x^2 + y^2}

角度 θ 则利用反三角函数的反正切(arc tangent)来表示 : θ=tan−1(yx) θ = tan^{-1}( {y \over x} )

注意：

  • 第一象限：当 x > 0 且 y > 0， 计算出的 θ 是正确的。
  • 第二象限：当 x < 0 且 y > 0， 计算出的 θ 要加 180 °。
  • 第三象限：当 x < 0 且 y < 0， 计算出的 θ 也需要加 180 °。
  • 第四象限：当 x > 0 且 y < 0， 计算出的 θ 要加 360 ° (或保持负值)。

直角坐标 x、y 与极座标半径 r 、角度 θ 之间的关系可以透过三角函数的正弦(sine)与余弦(cosine)表示成 : x=r cos θ,y=r sin θ x = r \: cos \, θ ,\quad y = r \: sin \, θ